# 线性代数

# 矩阵和向量

如图：这个是 4×2 矩阵，即 4 行 2 列，如$m$ 为行，$n$ 为列，那么$m×n$ 即 4×2

矩阵的维数即行数 × 列数

矩阵元素（矩阵项）：$A=\left[ \begin{matrix} 1402 & 191 \\ 1371 & 821 \\ 949 & 1437 \\ 147 & 1448 \\\end{matrix} \right]$

$A_{ij}$ 指第$i$ 行，第$j$ 列的元素。

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，如：

$$y=\left[ \begin{matrix} {460} \\ {232} \\ {315} \\ {178} \\\end{matrix} \right]$$

为四维列向量（4×1）。

如下图为 1 索引向量和 0 索引向量，左图为 1 索引向量，右图为 0 索引向量，一般我们用 1 索引向量。

$$y=\left[ \begin{matrix} { {y}_{1} } \\ { {y}_{2} } \\ { {y}_{3} } \\ { {y}_{4} } \\\end{matrix} \right], y=\left[ \begin{matrix} { {y}_{0} } \\ { {y}_{1} } \\ { {y}_{2} } \\ { {y}_{3} } \\\end{matrix} \right]$$

# 加法和标量乘法

矩阵的加法：行列数相等的可以加。

例：

矩阵的乘法：每个元素都要乘

组合算法也类似。

# 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：$m×n$ 的矩阵乘以$n×1$ 的向量，得到的是$m×1$ 的向量

算法举例：

# 矩阵乘法

矩阵乘法：

$m×n$ 矩阵乘以$n×o$ 矩阵，变成$m×o$ 矩阵。

如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵$A$ 和$B$，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

# 矩阵乘法的性质

矩阵乘法的性质：

矩阵的乘法不满足交换律：$A×B≠B×A$

矩阵的乘法满足结合律。即：$A×(B×C)=(A×B)×C$

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1, 我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 $I$ 或者 $E$ 表示，本讲义都用 $I$ 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

$$A{ {A}^{-1} }={ {A}^{-1} }A=I$$

对于单位矩阵，有$AI=IA=A$

# 逆、转置

矩阵的逆：如矩阵$A$ 是一个$m×m$ 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：$A{ {A}^{-1} }={ {A}^{-1} }A=I$

我们一般在 OCTAVE 或者 MATLAB 中进行计算矩阵的逆矩阵。

矩阵的转置：设$A$ 为$m×n$ 阶矩阵（即$m$ 行$n$ 列），第 $i $行$ j $列的元素是$ a (i,j)$，即：$A=a(i,j)$

定义$A$ 的转置为这样一个$n×m$ 阶矩阵$B$，满足$B=a(j,i)$，即 $b (i,j)=a(j,i)$（$B$ 的第$i$ 行第$j$ 列元素是$A$ 的第$j$ 行第$i$ 列元素），记${ {A}^{T} }=B$。(有些书记为 A'=B）

直观来看，将$A$ 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作镜面反转，即得到$A$ 的转置。

例：

$${ {\left| \begin{matrix} a& b \\ c& d \\ e& f \\\end{matrix} \right|}^{T} }=\left|\begin{matrix} a& c & e \\ b& d & f \\\end{matrix} \right|$$

矩阵的转置基本性质:

$${ {\left( A\pm B \right)}^{T} }={ {A}^{T} }\pm { {B}^{T} }$$

$${ {\left( A\times B \right)}^{T} }={ {B}^{T} }\times { {A}^{T} }$$

$${ {\left( { {A}^{T} } \right)}^{T} }=A$$

$${ {\left( KA \right)}^{T} }=K{ {A}^{T} }$$

matlab 中矩阵转置：直接打一撇， x=y' 。